Jahrhundertealtes Rätsel geknackt
Simple Frage
Schon Schüler lernen, wie man die Fläche eines rechtwinkeligen Dreiecks berechnet. Wenn man die Aufgabe nur ein wenig ändert, kann aus einer einfachen Rechnung aber ein komplexes mathematisches Problem werden.
Dabei klingt die Frage simpel: Wie viele rechtwinkelige Dreiecke gibt es, deren Flächen die Größe einer ganzen Zahl haben und deren Seitenlängen ebenfalls ganze Zahlen oder ein Bruch daraus sind. Die Flächen solcher Dreiecke werden als kongruente Zahlen bezeichnet. Das Problem besteht nun darin, für jede beliebige ganze Zahl zu überprüfen, ob es sich um eine solche handelt.
Harte Nuss
Rechtwinkeliges Dreieck mit den ganzzahligen Seitenlängen 3, 4 und 5.
Manche dieser Lösungen kannte man schon. Das aus der Schule bekannte Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 besitzt zum Beispiel eine Fläche von sechs Quadrateinheiten. Es ist das kleinste rechtwinklige Dreieck, dessen Seitenlängen ganze Zahlen sind. Unterbieten lässt sich das noch mit Brüchen: Das kleinste aus der Gruppe solcher Dreiecke misst die Fläche 5 und die Seitenlängen 3/2, 20/3 und 41/6.
Mathematiker aus Nord- und Südamerika, Europa und Australien haben nun immerhin einen Teil der Lösung gefunden: Unter den möglichen Dreiecken mit der Fläche eins bis eine Billion (einer Eins mit 12 Nullen oder 1.000.000.000.000) gibt es immerhin 3.148.379.694 Dreiecke, die die Anforderung erfüllen.
Lange Geschichte
Das Rätsel geht auf den iranischen Mathematiker Al-Karaji (953-1029) zurück. Im Lauf der Zeit konnten immer wieder Beweise für kongruente Zahlen geliefert werden, doch erst 1915 wurden alle kongruenten Zahlen bis 100 bewiesen und noch 1980 war der Beweis für einige Zahlen unter 1.000 ausständig.
Erste Schritte gelangen dem Mathematiker Leonardo Fibonacci im Jahr 1225, der für die Zahlen Fünf und Sieben zeigen konnte, dass sie kongruente Zahlen sind. Für die Zahl Eins behauptete er, dass sie keine sei, blieb den Beweis aber schuldig. Ihn erbrachte Pierre de Fermat im Jahr 1659.
Neue Software
Wenn man weiter rechnet, werden die Zahlen jedoch irgendwann so groß, dass sie heutige Rechner nicht mehr einfach verarbeiten können. Für die jetzt veröffentlichte Lösung haben die Wissenschaftler daher ein eigenes Programm geschrieben, um mit diesem Rechenaufwand fertig zu werden.
Das Programm wollen die Forscher gratis bereitstellen. Wer also einen besseren Rechner hat, kann versuchen, den Rekord zu brechen oder ähnliche Aufgaben zu lösen. Mit leistungsfähigeren Computern könnten dann auch weitere theoretisch schon von anderen Mathematikern erstellte Reihen überprüft werden, die bis zu einer Billiarde Lösungen untersuchen (einer Eins mit 15 Nullen).
Zwei Computer
Die Studie "Congruent number theta coeffcients to 1012" ist auf der Webseite zum Projekt beim American Institute of Mathematics erschienen.
An dem Problem weiter gearbeitet haben nun zwei Gruppen: Bill Hart von der Universität Warwick in Großbritannien mit Gonzalo Tornaria von der Universidad de la Republica in Uruguay sowie Mark Watkins von der Universität Sidney mit Robert Bradshaw von der Universität Washington in Seattle.
Da bei solch aufwendigen Rechnungen Fehler durch die Komplexität und die Computer passieren können, haben die Wissenschaftler unabhängig gearbeitet und zwei verschiedene Computer mit zwei unterschiedlichen Algorithmen rechnen lassen.
Finanziell unterstützt wurden die Gruppen vom American Institute of Mathematics. "Alte Probleme wie dieses wirken manchmal obskur, aber sie erzeugen viel interessante und brauchbare Forschung, wenn sich Menschen ihnen auf neuen Wegen nähern", sagt dessen Direktor Brian Conrey.
Weitere Rätsel
Rätsel, an denen Mathematiker lange Zeit zu kauen hatten, gab es immer wieder. Jener Fermat etwa, der sich auch mit den kongruenten Zahlen beschäftigte, behauptete im 17. Jahrhundert, dass der pythagoreische Lehrsatz (a2+b2=c2) nur mit dem Quadrat und keiner anderen Potenz funktioniert (wenn a,b und c nicht Null sind).
Die Studie (10 MB!) von Andrew Wiles:
"Modular elliptic curves and Fermat's last theorem" in den "Annals of Mathematics" .
Gelöst haben das Problem erst 1995 der britische Mathematiker Andrew Wiles.
Ein weiteres Beispiel ist das sogenannte Vier-Farben-Problem. Der südafrikanische Mathematiker Francis Guthrie vermutete 1852, dass vier Farben ausreichen, um eine Landkarte so einzufärben, dass keine zwei benachbarten Länder die gleiche Farbe zeigen. Mathematisch bewiesen wurde dies erst in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts, als mit Computern gerechnet werden konnte.
Mark Hammer, science.ORF.at
